LÓGICA Y CONJUNTOS
Los conjuntos numéricos agrupan valores según sus propiedades. Los principales que estudiarás aquí son los naturales N, los enteros Z, los racionales Q, los reales R y los complejos C.
Practica con 26 ejemplos resueltos y una tabla de 12 casos. Verás cómo un mismo número pertenece a varios conjuntos y por qué conviene simplificar antes de clasificar.
Convenciones: N = {0, 1, 2, 3, …}; N+ contiene los naturales positivos. Los racionales son a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Los irracionales son los reales que no pertenecen a Q.
En C se escribe a + bi, con a y b reales e i² = −1. Llamamos imaginario puro a bi cuando b ≠ 0. La coma es decimal; = expresa igualdad exacta y ≈, aproximación.
Símbolos: ∈ pertenece; ∉ no pertenece; ⊊ inclusión estricta; ∖ diferencia de conjuntos; ∪ unión; ∩ intersección; ∅ vacío.
EJEMPLO 01
Clasifica 7 entre N, Z, Q, R y C.
7 ∈ N, Z, Q, R y C
7 = 7/1 = 7 + 0i
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
N es el menor de esos cinco conjuntos que contiene 7. Pertenecer a uno no impide pertenecer a los que lo incluyen.
EJEMPLO 02
En esta guía N = {0, 1, 2, 3, …}. Compara con N+ = {1, 2, 3, …}.
0 ∈ N, Z, Q, R y C
0 ∉ N+
0 = 0/1 = 0 + 0i
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Ambas convenciones de naturales se usan. Aquí N incluye cero, igual que en nuestra guía de naturales. No presentamos N* como nombre universal de los cardinales.
EJEMPLO 03
Clasifica −8.
−8 ∉ N
−8 ∈ Z, Q, R y C
−8 = −8/1
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Ser negativo no impide ser racional. El menor conjunto de la cadena que lo contiene es Z.
EJEMPLO 04
Clasifica 3/4.
3/4 ∈ Q, R y C
3/4 ∉ Z; 3/4 ∉ N
3/4 = 0,75
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Es cociente de enteros con denominador no nulo. No es entero porque se encuentra estrictamente entre 0 y 1.
EJEMPLO 05
Clasifica −3/4 y compárala con 3/4.
−3/4 ∈ Q, R y C
−3/4 ∉ Z; −3/4 ∉ N
−3/4 = −0,75
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
El signo cambia su posición en la recta, no su condición de racional. Las fracciones no se limitan a valores positivos.
EJEMPLO 06
Antes de clasificar 12/4, calcula su valor.
12/4 = 3
12/4 ∈ N, Z, Q, R y C
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
La escritura con una barra no obliga a que el valor quede fuera de los enteros. Clasifica después de simplificar.
EJEMPLO 07
Convierte −1,25 a fracción.
−1,25 = −125/100 = −5/4
−1,25 ∈ Q, R y C
−1,25 ∉ Z
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Las dos cifras decimales permiten usar denominador 100. Decimal describe una escritura; no es una familia separada de los racionales y reales.
EJEMPLO 08
En x = 0,(27), el bloque 27 se repite sin fin.
x = 0,272727…
100x = 27,272727…
99x = 27; x = 27/99 = 3/11
x ∈ Q, R y C
Condición: Los paréntesis señalan el bloque que se repite indefinidamente.
Al restar x de 100x se cancela la misma cola decimal. Un decimal infinito puede ser racional.
EJEMPLO 09
En x = 0,1(6), solo el 6 se repite después del primer decimal.
10x = 1,6666…; 100x = 16,6666…
90x = 15; x = 15/90 = 1/6
x ∈ Q, R y C
Condición: x = 0,16666… con todos los decimales posteriores iguales a 6.
Se alinean las colas repetidas antes de restar. La parte inicial no periódica no convierte a este número en irracional.
EJEMPLO 10
Clasifica la raíz cuadrada principal de 49.
√49 = 7
√49 ∈ N, Z, Q, R y C
Condición: √49 designa la raíz principal no negativa.
El símbolo de raíz no determina por sí solo el conjunto. Aquí el radicando es un cuadrado perfecto.
EJEMPLO 11
Clasifica √2 y justifica por qué no es racional.
√2 ∈ R y C; √2 ∉ Q
Si √2 = p/q en forma irreducible: p² = 2q²
p sería par; p = 2k implica q² = 2k²
q también sería par: contradicción
Condición: p y q enteros, q ≠ 0; raíz real principal.
Un cuadrado entero es par solo si su base es par. p y q tendrían el factor común 2, contra la hipótesis de fracción reducida. La prueba no depende de mirar cifras en una calculadora.
EJEMPLO 12
Compara π con el decimal finito 3,141592.
π ∈ R y C; π ∉ Q
3,141592 = 3141592/1000000 ∈ Q
π ≈ 3,141592, pero π ≠ 3,141592
Condición: El decimal escrito termina en la sexta cifra; π es el valor exacto.
π es irracional; esta propiedad es un resultado matemático, no una conclusión obtenida de seis decimales. Aproximar cambia el valor que estamos clasificando.
EJEMPLO 13
Reduce √8/2 antes de clasificar.
√8/2 = 2√2/2 = √2
√8/2 ∈ R y C; √8/2 ∉ Q
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
El numerador no es entero. No basta ver una barra para afirmar que una expresión es un cociente de enteros.
EJEMPLO 14
Multiplica √2 por sí mismo.
√2 × √2 = 2
2 ∈ N, Z, Q, R y C
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Los dos factores son irracionales, pero el producto no lo es. Los irracionales no están cerrados bajo la multiplicación.
EJEMPLO 15
Construye x = 0,101001000100001…: entre dos unos consecutivos hay 1, 2, 3, 4, … ceros.
x ∈ R y C; x ∉ Q
Condición: La cantidad de ceros entre unos aumenta en uno cada vez, sin terminar.
Hay infinitos unos y separaciones entre ellos sin límite. Una cola periódica de longitud fija que contuviera un 1 tendría separaciones acotadas; una cola de ceros no tendría más unos. Ambas posibilidades contradicen la regla.
EJEMPLO 16
Clasifica el decimal finito 1,41421356.
1,41421356 = 141421356/100000000
1,41421356 ∈ Q, R y C
Condición: El decimal termina exactamente donde está escrito.
Es racional aunque sus cifras coincidan con las primeras de √2. Los puntos suspensivos sin una regla tampoco bastarían para decidir una clasificación.
EJEMPLO 17
La unidad imaginaria satisface i² = −1.
i = 0 + 1i
i ∈ C; i ∉ R
i² = −1
Condición: Trabajamos en C con la unidad i.
Ningún real tiene cuadrado negativo. Por eso i queda fuera de R. La letra C nombra el conjunto complejo; i nombra un número.
EJEMPLO 18
Clasifica −3i.
−3i = 0 + (−3)i
−3i ∈ C; −3i ∉ R
Parte real: 0; parte imaginaria: −3
Condición: Imaginario puro significa bi con b real y b ≠ 0.
Lo llamamos imaginario puro porque su parte real es cero y el coeficiente de i no es cero. La parte imaginaria es −3; el término imaginario es −3i.
EJEMPLO 19
Clasifica 2 + 3i.
2 + 3i ∈ C; 2 + 3i ∉ R
Parte real: 2; parte imaginaria: 3
No es imaginario puro
Condición: Los complejos se escriben a + bi con a y b reales.
Tiene parte real distinta de cero y parte imaginaria distinta de cero. No todo complejo es imaginario puro.
EJEMPLO 20
Escribe 5 en la forma a + bi.
5 = 5 + 0i
5 ∈ N, Z, Q, R y C
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Todos los reales son complejos con parte imaginaria cero. No se exige que las dos partes de a + bi sean distintas de cero.
EJEMPLO 21
Distingue √(−9) de resolver z² = −9 en C.
√(−9) = 3i (raíz principal)
z² = −9 tiene soluciones z = 3i y z = −3i
(3i)² = (−3i)² = −9
Condición: En C usamos la raíz cuadrada principal; no hay soluciones reales.
Los dos valores son imaginarios puros. El radical principal designa uno; la ecuación pide todos los valores que cumplen la igualdad.
EJEMPLO 22
Simplifica i² y clasifica el resultado.
i² = −1
i² ∈ Z, Q, R y C; i² ∉ N
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
La presencia de i en la escritura no obliga a que el resultado sea no real. Primero calcula el valor.
EJEMPLO 23
Compara los cinco conjuntos principales y encuentra un testigo en cada ampliación.
Orden de inclusión: N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R ⊊ C. Cada conjunto conserva todos los valores de los anteriores.
N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R ⊊ C
−1 ∈ Z ∖ N; 1/2 ∈ Q ∖ Z
√2 ∈ R ∖ Q; i ∈ C ∖ R
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
⊊ significa inclusión estricta: cada conjunto queda incluido en el siguiente y el siguiente tiene otros elementos. Los testigos impiden invertir las inclusiones.
EJEMPLO 24
Observa qué sucede al restar o dividir en un conjunto pequeño.
5 − 8 = −3 ∈ Z ∖ N
3/2 ∈ Q ∖ Z
1/0 no está definido en N, Z, Q, R ni C
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Ser un conjunto numérico no exige que cualquier operación produzca otro miembro del mismo conjunto. Ampliar a C tampoco permite dividir entre cero.
EJEMPLO 25
Usamos R como universo para separar racionales e irracionales.
−8; 0; 3/4
√2; π
Todo real pertenece a una de las dos partes. i queda fuera de R.
Irracionales = R ∖ Q
Q ∪ (R ∖ Q) = R
Q ∩ (R ∖ Q) = ∅
i ∉ R ∖ Q aunque i ∉ Q
Condición: El universo de esta partición es R.
No ser racional basta para ser irracional solo cuando ya sabemos que el número es real. Un complejo no real no es irracional.
EJEMPLO 26
Definimos Q+ = {x ∈ Q : x > 0}. Comprueba cuatro casos.
1/4 ∈ Q+; 2 = 2/1 ∈ Q+
−1/4 ∉ Q+; 0 ∉ Q+
Condición: El signo + indica positividad estricta.
Q+ incluye enteros positivos y excluye cero y negativos. No es el nombre de todas las fracciones: −1/4 también es una fracción.
CONSULTA
Busca el menor conjunto de la cadena que contiene cada valor. Después reconoce los conjuntos mayores a los que también pertenece.
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Las últimas dos filas son controles: no todas las expresiones que parecen numéricas representan un número de esta cadena.
| Número | Menor conjunto y explicación |
|---|---|
| 0 | N; también Z, Q, R y C. |
| −5 | Z; también Q, R y C. |
| 3/5 | Q; también R y C. |
| 0,25 | Q: es 1/4; también R y C. |
| Número | Menor conjunto y explicación |
|---|---|
| √16 | N: es 4; también Z, Q, R y C. |
| √3 | R: es irracional; también C. |
| π | R: es irracional; también C. |
| −2i | C; imaginario puro, no real. |
| Número | Menor conjunto y explicación |
|---|---|
| 1 + i | C; no real y no imaginario puro. |
| 0i | N: es 0; también Z, Q, R y C. |
| 1/0 | No es un número definido en estos conjuntos. |
| ∞ | Es un símbolo de infinito, no un número de N, Z, Q, R o C. |
CONSULTA
No todas las etiquetas responden a la misma pregunta. Natural o racional clasifica valores; romano describe una escritura; cardinal y ordinal pueden expresar cantidad y posición.
Condición: N incluye el cero; se clasifica el valor exacto.
Un conjunto no necesita estar escrito en orden ni dibujado para existir. Esta es una clasificación introductoria habitual, no una lista de todos los objetos numéricos de las matemáticas.
| Nombre | Lectura correcta y ejemplos |
|---|---|
| Naturales | N+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}; aquí N añade 0. Se declara la convención. |
| Cardinales | Contar 0 objetos o 7 objetos expresa cantidades. Para conjuntos finitos se usan enteros no negativos; N* no es una notación universal para cardinales. |
| Racionales | −3/4, −1/2, −1/4, 0, 1/4, 1/2 y 3/4 son ejemplos de Q. No enumeran todo Q: también contiene 1/3. |
| Fraccionarios y Q+ | 1/4, 1/2 y 3/4 son racionales positivos; −1/4 es una fracción negativa. Q+ designa solo racionales mayores que cero. |
| Nombre | Lectura correcta y ejemplos |
|---|---|
| Irracionales | π es irracional y su decimal es infinito no periódico. Se usa R ∖ Q; un irracional no necesita un símbolo especial propio. |
| Enteros | Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Incluye negativos, cero y positivos. |
| Reales | −10, −5, −1/2, −1/4, 0, √2 y π pertenecen a R. Son ejemplos, no una enumeración de todos los reales. |
| Imaginarios | i es una unidad: i² = −1. Los imaginarios puros bi, b ≠ 0, son complejos no reales. |
| Nombre | Lectura correcta y ejemplos |
|---|---|
| Complejos | C = {a + bi : a, b ∈ R}. Incluye reales, imaginarios puros y complejos con ambas partes no nulas. |
| Romanos | I, II, III, IV, V y VI representan 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Cambia la escritura, no el valor ni su conjunto. |
| Decimales | −0,2 = −1/5; −0,1 = −1/10; 1,1 = 11/10; 1,2 = 6/5. Estos decimales finitos son racionales. |
| Ordinales | 1.º, 2.º, 3.º y 4.º indican posiciones en el uso escolar. No son un peldaño adicional de la cadena N ⊊ Z ⊊ Q ⊊ R ⊊ C. |
| Nombre | Lectura correcta y ejemplos |
|---|---|
| Partitivos | Un cuarto nombra 1/4; un medio, 1/2. La denominación no crea un conjunto numérico diferente. |
Los ejemplos, tablas y figuras de esta página son una elaboración editorial. La convención N con cero se declara expresamente.