ÁLGEBRA · FACTORES Y COMPROBACIONES
Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores. Por ejemplo, x² + x = x(x + 1). Para comprobarlo, multiplica los factores y recupera la expresión inicial.
La colección distingue productos completos, extracciones parciales por grupos y casos donde un patrón no se puede aplicar. Encontrarás factor común, agrupación, cuadrados y trinomios.
Las letras representan variables reales. Las identidades con coeficientes racionales también valen para todos esos valores, incluidos los ceros de los factores extraídos: factorizar no exige dividir por un valor de la variable. Cuando se amplía a factores con radicales, se indica expresamente.
Los factores son expresiones; las raíces son valores que hacen cero un polinomio. Por ejemplo, x + 1 es un factor de (x + 1)² y −1 es su raíz. No son lo mismo.
· indica multiplicación. La copia utiliza * y ^, y escribe √2 como sqrt(2). La explicación acompaña a cada bloque.
Con coeficientes enteros, busca su máximo común divisor y las menores potencias presentes en todos los términos. El factor debe pertenecer a cada término, no solo a algunos.
EJEMPLO 01
El máximo común divisor de 4, 8, 2 y 6 es 2. Las menores potencias presentes en todos los términos son x e y: el factor es 2xy. Dentro quedan 2x²y, −4x, y y 3.
EJEMPLO 02
x² = x · x y x = x · 1. El segundo término deja un 1 dentro del paréntesis.
EJEMPLO 03
fg multiplica a 1, hx y −4e. El signo negativo del último término se conserva.
EJEMPLO 04
Ambos términos contienen 2y; quedan x y 2y.
EJEMPLO 05
x aparece en todos los términos. En x²z se extrae solo una x y queda xz.
EJEMPLO 06
El factor común es 2. No se puede extraer x de toda la expresión porque 4 no la contiene.
EJEMPLO 07
Los tres términos contienen x; a no aparece en x² y no es un factor de toda la expresión.
EJEMPLO 08
Se extrae a² y quedan 1/2, ab y 4b²c. Los coeficientes racionales son válidos; no es necesario forzar un factor numérico entero.
EJEMPLO 09
Al dividir formalmente cada término por 2yz quedan 2x, 1 y −4xy. La igualdad se comprueba multiplicando y también vale cuando y o z son cero.
EJEMPLO 10
El MCD de 4 y 12 es 4. Las menores potencias comunes son a y b, de modo que se extrae 4ab.
EJEMPLO 11
El término a deja 1, no 0. Al multiplicar por a se recuperan los cuatro términos.
Estos ejemplos conservan sumas entre grupos. Una reescritura puede ser correcta sin ser todavía una factorización de toda la expresión como producto. En el ejemplo 18 se extrae además un factor global 2, pero los grupos interiores siguen sumándose.
EJEMPLO 12
Se extrae ac del primer grupo y mn del segundo. El término 2x queda aparte. Es una extracción parcial: todavía hay una suma y no se ha convertido toda la expresión en un producto.
EJEMPLO 13
En −fg + 2g el factor es g: g(−f + 2). Sacar f de ambos términos cambiaría el segundo sumando. El −5 permanece fuera.
EJEMPLO 14
El primer grupo comparte b; el segundo, m. Los paréntesis resultantes son distintos: se conserva una suma de dos productos.
EJEMPLO 15
jk + 3jk = 4jk, por eso 1 − i + 3 se reduce a 4 − i. La segunda parte conserva ab como factor.
EJEMPLO 16
En el segundo grupo, xy multiplica a −1, 3x y −x³y. Cuidar el último exponente permite recuperar −x⁴y².
EJEMPLO 17
Los tres primeros términos contienen bd; los otros tres, x. No se exige un mismo factor para ambos grupos.
EJEMPLO 18
La primera línea por grupos es correcta pero parcial. Como ambos grupos contienen 2, se puede extraer además ese factor de toda la expresión. El interior sigue siendo una suma.
EJEMPLO 19
Se juntan abx con aby y cdx con −cdm. Resultan paréntesis distintos, x + y y x − m.
EJEMPLO 20
En −4m + 2mn se extrae 2m y queda −2 + n. No se cambia el signo del término −4m.
EJEMPLO 21
Del primer grupo se extrae 2; del segundo, a. El resultado sigue siendo una suma de productos.
EJEMPLO 22
Se extraen 5h y j de sus respectivos grupos. No aparece un binomio común adicional en esta agrupación.
Después de extraer un factor de cada grupo, busca un paréntesis común. Si aparece, puede extraerse una segunda vez.
EJEMPLO 23
Los dos grupos dejan el mismo binomio x + y. Se lo extrae como factor común y toda la expresión queda como producto.
EJEMPLO 24
Se extrae −3 de −3x + 6, no +3, para obtener otra vez x − 2. Esta es la factorización en polinomios con coeficientes racionales; sobre los reales, x² − 3 admite factores con √3.
Para x² + bx + c, busca dos números que sumen b y multipliquen c. En un cuadrado perfecto comprueba también el doble producto. Si no encuentras enteros, no inventes los factores: puede cambiar el dominio necesario.
EJEMPLO 25
x² y 1 son cuadrados y 2x es el doble producto. Los dos factores son iguales; también se escribe (x + 1)².
EJEMPLO 26
Los extremos son x² y a²; el centro es 2ax. Esta identidad vale para todos los valores reales de x y a.
EJEMPLO 27
La raíz del cuadrado 4b² se representa aquí mediante el factor 2b: el doble producto es 2 · x · 2b = 4bx. No se está afirmando que √(4b²) = 2b para todo b.
EJEMPLO 28
2 + 2 = 4 y 2 · 2 = 4. Se obtiene (y + 2)².
EJEMPLO 29
Se trata z² como una sola expresión: su cuadrado es z⁴ y el doble producto con 3 es 6z².
EJEMPLO 30
Los números 8 y −3 suman 5 y multiplicados dan −24.
EJEMPLO 31
−2 y −3 suman −5 y multiplicados dan 6.
EJEMPLO 32
8 y −4 suman 4 y multiplicados dan −32.
EJEMPLO 33
−4 y −3 suman −7 y multiplicados dan 12.
EJEMPLO 34
No hay dos enteros cuyo producto sea 7 y cuya suma sea −6. Al completar el cuadrado queda (x − 3)² − 2. Sobre los reales, la diferencia de cuadrados da los factores x − 3 − √2 y x − 3 + √2. En la copia, sqrt(2) significa √2.
Aquí se combinan patrones, se trabaja con un coeficiente principal diferente de 1 y se incluye un caso donde el método de cuadrados no aplica.
EJEMPLO 35
Se elige −3x² para que el primer término del paréntesis quede positivo. Al distribuir, −3x² · (−3) recupera +9x².
EJEMPLO 36
La expresión tiene dos términos separados por una resta. Al multiplicar los conjugados, +15x y −15x se cancelan. No es un trinomio.
EJEMPLO 37
El término central es −2 · (2x) · 3. El último término es positivo aunque el binomio tenga una resta.
EJEMPLO 38
Se descompone 11x en 9x + 2x porque 9 + 2 = 11 y 9 · 2 = 6 · 3. La agrupación deja el factor 2x + 3.
EJEMPLO 39
Primero se extrae 2x; después se factoriza x² − 4. Detenerse tras el primer paso dejaría un factor que aún admite el patrón de cuadrados. La identidad también vale cuando x = 0.
EJEMPLO 40
En polinomios con coeficientes reales, x² + 9 no se descompone en factores lineales: es positivo para todo x real. (x − 3)(x + 3) produce x² − 9, no x² + 9. Este es un contraste donde no se aplica la diferencia de cuadrados.
La comprobación del ejemplo 38 recupera cada término del trinomio:
Los términos centrales 9x y 2x suman 11x. Comprobar únicamente el primer y el último término no basta.
En el ejemplo 34, los radicales aparecen en factores conjugados. Sus términos cruzados se cancelan:
Se usa (√2)² = 2. El término independiente es +7. sqrt(2) en la copia significa la raíz cuadrada positiva de 2.
No todos los polinomios se factorizan con los mismos coeficientes. Esta guía trabaja los patrones anteriores; las sumas y diferencias de cubos requieren su propia identidad.
OpenStax: factor común y agrupación y factorización de productos especiales.