ARITMÉTICA · PARTES IGUALES Y UNIDAD DE REFERENCIA
En 2/5, el denominador es 5: cada unidad se divide en cinco partes iguales. Reconócelo en fracciones propias, impropias y números mixtos, y aprende cuándo sirve para comparar o para operar.
El denominador es el término situado debajo de la raya de una fracción o después de la barra en a/b. En una fracción de enteros, b es el denominador y debe cumplir b ≠ 0. Cuando b es positivo y usamos un modelo de partes de un entero, indica cuántas partes iguales forman cada unidad.
EJEMPLO 01
Una barra se divide en cinco partes iguales y se colorean dos.
2/5 → denominador: 5
Cada parte representa 1/5 de la barra
5·(1/5) = 1 barra entera
Condición: Partes iguales de una misma unidad.
El 5 indica cuántos quintos forman la unidad; el 2 cuenta los quintos coloreados. En a/b, el denominador está después de la barra. En la escritura vertical, está debajo de la raya.
EJEMPLO 02
Identifica el término completo que aparece después de la barra.
2/3 → denominador: 3
9/10 → denominador: 10
4/5 → denominador: 5
6/25 → denominador: 25
11/30 → denominador: 30
Condición: Denominador distinto de cero.
En 6/25, el denominador es 25, no 5. En el modelo de partes de una unidad, indica veinticinco partes iguales; se cuentan seis de ellas.
EJEMPLO 03
Compara los dos términos de estas fracciones positivas.
8/9 → denominador: 9
4/6 → denominador: 6
5/11 → denominador: 11
2/5 → denominador: 5
22/50 → denominador: 50
Condición: Numerador y denominador positivos.
El denominador supera al numerador y la fracción vale menos que 1. No implica que se tome poco: 8/9 está a solo 1/9 de completar la unidad.
EJEMPLO 04
Lee el denominador sin simplificar ni dividir la fracción.
2/8 → denominador: 8
3/12 → denominador: 12
6/9 → denominador: 9
11/12 → denominador: 12
21/30 → denominador: 30
Condición: Numerador y denominador positivos.
En la escritura 2/8, el denominador es 8. Aunque su valor sea el mismo que 1/4, no sustituimos el denominador escrito por el de otra representación.
EJEMPLO 05
Lee el denominador sin simplificar ni dividir la fracción.
44/53 → denominador: 53
20/28 → denominador: 28
4/5 → denominador: 5
3/10 → denominador: 10
25/38 → denominador: 38
Condición: Numerador y denominador positivos.
El denominador es todo el número: en 25/38 es 38. Su función no cambia cuando tiene dos cifras.
EJEMPLO 06
Lee el denominador sin simplificar ni dividir la fracción.
15/18 → denominador: 18
23/25 → denominador: 25
135/145 → denominador: 145
200/201 → denominador: 201
1123/1200 → denominador: 1200
Condición: Numerador y denominador positivos.
En 1123/1200, el denominador es 1200. Las cifras no determinan por sí solas el valor: 200/201 está muy cerca de 1, a una distancia de 1/201.
EJEMPLO 07
Interpreta fracciones que superan una unidad.
7/5 → denominador: 5
4/2 → denominador: 2
12/8 → denominador: 8
24/9 → denominador: 9
32/17 → denominador: 17
7/5 = 5/5 + 2/5 = 1 + 2/5
Condición: Numerador y denominador positivos; unidades iguales.
El 5 dice cuántas partes forman cada unidad, no cuántas piezas aparecen entre todas las barras. En el dibujo hay dos unidades iguales divididas en quintos y siete piezas azules en total.
EJEMPLO 08
Reconoce el denominador y compáralo con el numerador.
3/2 → denominador: 2
4/3 → denominador: 3
5/4 → denominador: 4
6/5 → denominador: 5
7/6 → denominador: 6
Condición: Numerador y denominador positivos.
El denominador es menor que el numerador en estos casos. El valor supera 1: 3/2 = 1 + 1/2.
EJEMPLO 09
Reconoce el denominador y compáralo con el numerador.
10/3 → denominador: 3
15/7 → denominador: 7
23/6 → denominador: 6
75/60 → denominador: 60
120/35 → denominador: 35
Condición: Numerador y denominador positivos.
En 23/6, el denominador es 6 y se compara con 23. La fracción cuenta veintitrés sextos: 23/6 = 3 + 5/6.
EJEMPLO 10
Reconoce el denominador y compáralo con el numerador.
13/7 → denominador: 7
22/5 → denominador: 5
43/9 → denominador: 9
55/3 → denominador: 3
99/4 → denominador: 4
Condición: Numerador y denominador positivos.
Un denominador pequeño puede acompañar una cantidad grande. En 99/4 se cuentan 99 cuartos: 99/4 = 24 + 3/4.
EJEMPLO 11
Distingue casos que no aparecen en las listas anteriores.
7/1 = 7 → denominador: 1
5/5 = 1 → denominador: 5
0/5 = 0 → denominador: 5
5/0 y 0/0 no están definidos
Condición: Denominador distinto de cero.
Un entero puede escribirse con denominador 1. El numerador puede ser cero, pero el denominador nunca. En la clasificación positiva usada aquí, 5/5 también es impropia: su valor es igual a 1.
EJEMPLO 12
Compara la escritura 3/(-5) con (-3)/5.
3/(−5) → denominador: −5
(−3)/5 → denominador: 5
3/(−5) = (−3)/5 = −(3/5)
Condición: Denominador no nulo.
El denominador puede ser un entero negativo, aunque suele dejarse positivo trasladando el signo al numerador. Para dibujar partes usamos quintos del entero y tratamos el signo del valor aparte. No se divide una barra en «menos cinco trozos».
EJEMPLO 13
Convierte 2 3/4 en una fracción.
2 3/4 = 2 + 3/4
La parte fraccionaria 3/4 tiene denominador 4
2 3/4 = (2·4 + 3)/4 = 11/4
Condición: La separación en 2 3/4 expresa suma.
El denominador ya existe en la parte fraccionaria del mixto. Al convertir con esta regla se conserva porque seguimos contando cuartos: ocho de las dos unidades y tres más. Si después simplificamos otra fracción, su denominador escrito puede cambiar.
EJEMPLO 14
Suma 1 2/5 y 2 1/5.
1 2/5 + 2 1/5 = (1 + 2) + (2/5 + 1/5)
= 3 + 3/5 = 3 3/5
Comprobación: 7/5 + 11/5 = 18/5
Condición: Partes fraccionarias con denominador común.
Se suman las partes enteras y los quintos por separado. Convertir a impropias es una alternativa, no un paso obligatorio en toda operación. Si la parte fraccionaria alcanza una unidad, se reagrupa.
EJEMPLO 15
Simplifica 6/8 y escribe después una equivalente con denominador 12.
6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4
3/4 = (3·3)/(4·3) = 9/12
Denominadores escritos: 8, 4 y 12
Condición: Ambos términos se multiplican o dividen por el mismo factor no nulo.
El valor se conserva porque se aplica el mismo factor no nulo al numerador y al denominador. Cambiar solo 3/4 por 3/12 daría la tercera parte del valor inicial.
EJEMPLO 16
Compara 3/4 con 3/8.
4 < 8, pero 3/4 > 3/8
3/4 = 6/8; 6/8 > 3/8
Condición: Mismo numerador positivo; denominadores positivos.
Si el entero es el mismo, un octavo es menor que un cuarto. Al tomar tres partes en ambos casos, tres octavos son menos que tres cuartos. Esta regla se aplica con numerador fijo positivo y denominadores positivos.
EJEMPLO 17
Compara 7/8 con 1/2.
8 > 2, pero 7/8 > 1/2
1/2 = 4/8; 7/8 > 4/8
Condición: Para comparar cantidades representadas, usar el mismo entero.
Los octavos son menores que los medios, pero se están tomando siete octavos y solo un medio. El tamaño de cada parte y el número de partes cuentan juntos.
EJEMPLO 18
Compara 1/2 de una cinta de 100 cm con 1/2 de otra de 200 cm.
(1/2)·100 cm = 50 cm
(1/2)·200 cm = 100 cm
Ambas fracciones tienen denominador 2
Condición: Cada cinta completa es su propia unidad de referencia.
Dos partes iguales de cada cinta son mitades, pero no tienen la misma longitud si los enteros son distintos. El dibujo usa una escala común para que la cinta de 200 cm mida el doble.
EJEMPLO 19
Completa 3/d = 1/4.
3/d = (1·3)/(4·3)
d = 12
Comprobación: 3/12 = 1/4
Condición: d distinto de cero.
El numerador 1 se multiplicó por 3. Para conservar el valor, el denominador 4 también se multiplica por 3. La respuesta es 12.
EJEMPLO 20
Calcula 1/4 + 1/6.
1/4 = 3/12; 1/6 = 2/12
1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12
También: 6/24 + 4/24 = 10/24 = 5/12
Condición: Misma unidad al sumar cantidades; denominadores no nulos.
El 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Permite contar partes del mismo tamaño. El 24 también sirve, aunque requiere simplificar. No se suman los denominadores: 2/10 no es el resultado.
EJEMPLO 21
Una cinta de 100 cm se corta en piezas de 20, 30 y 50 cm. ¿La última es un tercio?
20 + 30 + 50 = 100 cm
50/100 = 1/2
La pieza de 50 cm representa 1/2, no 1/3
Condición: La unidad de referencia es la cinta de 100 cm.
El denominador no se obtiene contando cualquier conjunto de trozos. Para representar tercios de una cinta, las tres piezas deben tener la misma longitud. Aquí la pieza azul ocupa la mitad.
EJEMPLO 22
Calcula 2/3 de 3/4 de una unidad.
(2/3)·(3/4) = (2·3)/(3·4)
= 6/12 = 1/2
Denominador antes de simplificar: 12; después: 2
Condición: Denominadores distintos de cero.
El procedimiento depende de la operación. Para multiplicar se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; no hace falta buscar un denominador común. La simplificación final conserva el valor.
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