ARITMÉTICA · FRACCIONES Y DECIMALES
Un mismo número puede escribirse como fracción, número mixto o decimal. Aprende a pasar de una forma a otra con ejemplos resueltos y una colección de 40 conversiones para practicar.
Convertir de forma exacta conserva el valor. Si recortas o redondeas un decimal que no termina, obtienes una aproximación: escribe ≈ en lugar de =.
Cómo leer los decimales: usamos coma decimal. Las cifras entre paréntesis se repiten sin fin: 0,(27) = 0,272727… y 0,1(6) = 0,166666…. Esta escritura conserva el período también al copiar.
EJEMPLO 01
Convierte 3 1/2 a una sola fracción.
3 1/2 = 3 + 1/2
= (3·2 + 1)/2 = 7/2
Condición: Mixto positivo: entero más parte fraccionaria.
Cada entero contiene dos medios. Tres enteros son seis medios; con el medio restante suman siete medios. Se conserva el denominador.
EJEMPLO 02
Convierte 25/6 a número mixto.
25 = 4·6 + 1
25/6 = 24/6 + 1/6 = 4 1/6
Condición: Denominador positivo; resto menor que el denominador.
Al dividir 25 entre 6, el cociente entero es 4 y el resto 1. El resto se escribe sobre el denominador original. Las barras muestran cuatro unidades completas y un sexto de otra.
EJEMPLO 03
Convierte 4 2/8 a decimal.
4 2/8 = 4 + 2/8
2/8 = 1/4 = 0,25
4 2/8 = 4,25
Divide la parte fraccionaria y súmala al entero. La conversión es exacta: 0,25 equivale a 25/100 = 1/4. No se coloca el numerador como si fueran cifras decimales.
EJEMPLO 04
Convierte 16/5 a decimal.
16/5 = 16 ÷ 5 = 3,2
Comprobación: 3,2 = 32/10 = 16/5
La barra de la fracción indica una división. Divide el numerador entre el denominador. Aquí el cociente termina: no hace falta aproximar.
EJEMPLO 05
Multiplica el entero por el denominador, suma el numerador y conserva el denominador.
3 1/2 = (3·2 + 1)/2 = 7/2
4 2/3 = (4·3 + 2)/3 = 14/3
2 1/5 = (2·5 + 1)/5 = 11/5
6 2/4 = (6·4 + 2)/4 = 26/4 = 13/2
8 1/3 = (8·3 + 1)/3 = 25/3
Condición: Mixtos positivos.
La fracción resultante puede simplificarse sin cambiar de valor. Por ejemplo, 26/4 = 13/2 y 68/12 = 17/3. Escribir una impropia y simplificarla son pasos distintos.
EJEMPLO 06
Multiplica el entero por el denominador, suma el numerador y conserva el denominador.
9 3/4 = (9·4 + 3)/4 = 39/4
5 8/12 = (5·12 + 8)/12 = 68/12 = 17/3
10 1/6 = (10·6 + 1)/6 = 61/6
3 3/8 = (3·8 + 3)/8 = 27/8
2 15/32 = (2·32 + 15)/32 = 79/32
Condición: Mixtos positivos.
La fracción resultante puede simplificarse sin cambiar de valor. Por ejemplo, 26/4 = 13/2 y 68/12 = 17/3. Escribir una impropia y simplificarla son pasos distintos.
EJEMPLO 07
Divide numerador entre denominador y separa cociente entero y resto.
32/5 = 6 2/5
15/2 = 7 1/2
55/6 = 9 1/6
23/3 = 7 2/3
46/5 = 9 1/5
Condición: Resto no negativo y menor que el denominador.
Comprueba multiplicando el entero por el denominador y sumando el resto. Si la parte fraccionaria se puede reducir, hazlo: 2/4 = 1/2. El valor del número mixto se conserva.
EJEMPLO 08
Divide numerador entre denominador y separa cociente entero y resto.
14/4 = 3 2/4 = 3 1/2
19/7 = 2 5/7
6/5 = 1 1/5
38/4 = 9 2/4 = 9 1/2
40/7 = 5 5/7
Condición: Resto no negativo y menor que el denominador.
Comprueba multiplicando el entero por el denominador y sumando el resto. Si la parte fraccionaria se puede reducir, hazlo: 2/4 = 1/2. El valor del número mixto se conserva.
EJEMPLO 09
Distingue los decimales exactos de los periódicos y de sus redondeos.
5 1/7 = 5,(142857) ≈ 5,1429 (4 decimales)
10 3/5 = 10,6
3 5/15 = 3,(3) ≈ 3,3333 (4 decimales)
5 2/11 = 5,(18) ≈ 5,1818 (4 decimales)
6 21/100 = 6,21
Condición: Paréntesis decimales: cifras que se repiten indefinidamente.
Los paréntesis indican el período que se repite sin fin: 5,(142857) es 5,142857142857… Se usa = para el valor exacto y ≈ para el redondeo a cuatro decimales.
EJEMPLO 10
Distingue los decimales exactos de los periódicos y de sus redondeos.
8 2/6 = 8,(3) ≈ 8,3333 (4 decimales)
3 5/10 = 3,5
9 1/2 = 9,5
15 2/20 = 15,1
20 1/8 = 20,125
Condición: Paréntesis decimales: cifras que se repiten indefinidamente.
En 8 2/6, la fracción es 2/6 = 1/3. Por eso el valor exacto es 8,(3), no 8,2857. Los otros cuatro decimales terminan y son exactos.
EJEMPLO 11
Divide el numerador entre el denominador.
17/8 = 2,125
32/5 = 6,4
20/3 = 6,(6) ≈ 6,6667 (4 decimales)
54/5 = 10,8
13/2 = 6,5
Condición: ≈ indica aproximación a cuatro decimales.
Los decimales que terminan representan exactamente la fracción. En cambio, el 6 que figura entre paréntesis se repite sin fin. La cifra final 7 de los redondeos a cuatro decimales procede de la siguiente cifra 6.
EJEMPLO 12
Divide el numerador entre el denominador.
16/5 = 3,2
8/3 = 2,(6) ≈ 2,6667 (4 decimales)
11/8 = 1,375
9/4 = 2,25
46/10 = 4,6
Condición: ≈ indica aproximación a cuatro decimales.
Los decimales que terminan representan exactamente la fracción. En cambio, el 6 que figura entre paréntesis se repite sin fin. La cifra final 7 de los redondeos a cuatro decimales procede de la siguiente cifra 6.
EJEMPLO 13
Convierte -2 3/4 a fracción y decimal.
−2 3/4 = −(2 + 3/4)
= −(2·4 + 3)/4 = −11/4
= −2,75
Condición: -2 3/4 significa -(2 + 3/4).
El signo menos afecta a todo el mixto, no solo al entero. Puedes convertir primero la magnitud y colocar el signo delante. La expresión -2 + 3/4 sería otro número: -5/4.
EJEMPLO 14
Convierte 12/4 y 0/7.
12/4 = 3 = 3,0
0/7 = 0 = 0,0
Condición: Denominador distinto de cero.
Si el resto es cero, no necesitas escribir una parte fraccionaria en el mixto. Un numerador cero con denominador no nulo representa cero. Agregar un cero después de la coma no altera el valor.
EJEMPLO 15
Convierte 3/8 a decimal.
3/8 = (3·125)/(8·125)
= 375/1000 = 0,375
Multiplicar numerador y denominador por 125 convierte los octavos en milésimas. También puedes dividir 3 entre 8. Ambas vías dan exactamente 0,375.
EJEMPLO 16
Compara 3/6, 7/40 y 1/6.
3/6 = 1/2 = 0,5
7/40 = 0,175; 40 = 23·5
1/6 = 0,1(6); 6 = 2·3
Condición: Criterio para fracciones de enteros reducidas.
En una fracción irreducible con denominador positivo, el decimal termina si el denominador solo tiene factores primos 2 y 5, o si es 1. Si queda otro factor primo, la división produce un decimal periódico. Debes simplificar primero: el 3 de 3/6 desaparece.
EJEMPLO 17
Convierte 2,75 a fracción irreducible.
2,75 = 275/100
275/100 = 11/4 = 2 3/4
Hay dos cifras decimales, así que el denominador inicial es 100. Quita la coma para formar el numerador y simplifica ambos términos por 25. La conversión conserva exactamente el valor.
EJEMPLO 18
Convierte -0,125 a fracción.
−0,125 = −125/1000 = −1/8
Las tres cifras decimales corresponden a milésimas. Conserva el menos al formar la fracción y al simplificar por 125. El denominador puede mantenerse positivo.
EJEMPLO 19
Convierte 0,0050 a fracción.
0,0050 = 50/10000 = 1/200
También: 0,005 = 5/1000 = 1/200
Con la escritura original se cuentan cuatro cifras decimales. El cero final puede retirarse porque no cambia el valor; los dos ceros entre la coma y el 5 sí importan. No es lo mismo 0,005 que 0,5.
EJEMPLO 20
Convierte 0,(3) a fracción.
x = 0,333333…
10x = 3,333333…
10x − x = 3; 9x = 3
x = 3/9 = 1/3
Condición: El 3 se repite sin fin.
El período empieza justo después de la coma. Multiplicar por 10 desplaza una cifra; al restar, las colas decimales iguales se cancelan. Por eso el decimal periódico completo equivale a 1/3, no a 3/10.
EJEMPLO 21
Convierte 0,(27) a fracción.
x = 0,272727…
100x = 27,272727…
100x − x = 27; 99x = 27
x = 27/99 = 3/11
Condición: El período es 27.
Ahora se desplazan dos cifras porque el período tiene longitud 2. El denominador 99 aparece al restar 100x - x, no por contar cuántas cifras se han escrito en pantalla.
EJEMPLO 22
Convierte 0,1(6) a fracción.
x = 0,166666…
10x = 1,666666…
100x = 16,666666…
100x − 10x = 15; 90x = 15
x = 15/90 = 1/6
Condición: Solo el 6 se repite; el 1 aparece una vez.
Primero desplaza la cifra que no se repite; después desplaza también una repetición completa. Las colas decimales quedan alineadas y se eliminan al restar.
EJEMPLO 23
Convierte 0,08(3) a fracción.
x = 0,083333…
100x = 8,333333…
1000x = 83,333333…
900x = 75
x = 75/900 = 1/12
Condición: Anteperíodo 08; período 3.
Antes del período hay dos cifras, 0 y 8. Por eso el primer desplazamiento es de dos posiciones. El cero forma parte del anteperíodo y no se puede ignorar.
EJEMPLO 24
Convierte -1,2(3) a fracción.
Primero: y = 1,233333…
10y = 12,333333…; 100y = 123,333333…
90y = 111; y = 111/90 = 37/30
−1,2(3) = −37/30
Condición: Solo el 3 se repite.
Trabaja con la magnitud positiva para alinear las colas y aplica el signo al resultado completo. La parte entera también interviene en la resta: 123 - 12 = 111.
EJEMPLO 25
Convierte 1/6 dividiendo paso a paso.
10 = 1·6 + 4: primera cifra decimal, 1
40 = 6·6 + 4: siguiente cifra, 6
El resto 4 se repite; siguen apareciendo cifras 6
1/6 = 0,1(6)
En cada paso multiplicas el resto por 10. Si un resto vuelve a aparecer, se repiten las mismas divisiones y las mismas cifras. Así se identifica el período sin depender de cuántos dígitos muestra una calculadora.
EJEMPLO 26
Escribe 1/7 con cuatro cifras decimales.
Exacto: 1/7 = 0,(142857)
Truncado a cuatro decimales: 0,1428
Redondeado a cuatro decimales: 0,1429
1/7 ≈ 0,1429, pero 1/7 ≠ 0,1429
Condición: Precisión indicada: cuatro decimales.
Truncar elimina las cifras posteriores. Para redondear a cuatro decimales se mira la quinta cifra, que es 5, y se aumenta la cuarta en una unidad. Usa ≈ cuando escribas cualquiera de estas aproximaciones como sustituto de la fracción.
EJEMPLO 27
Compara 2/3 con 0,67.
2/3 = 0,(6) ≈ 0,67
0,67 = 67/100
67/100 − 2/3 = 1/300
Condición: 0,67 es el redondeo de 2/3 a dos decimales.
0,67 y 67/100 son exactamente el mismo número. Ambos se aproximan a 2/3, pero no son iguales a esa fracción. Al redondear se pierde información; convertir después el decimal a fracción no la devuelve.
EJEMPLO 28
Expresa 3/8 como decimal y porcentaje.
3/8 = 0,375
0,375·100 = 37,5
3/8 = 37,5 % del total
Condición: Las tres formas describen la misma cantidad relativa.
El decimal representa la parte de una unidad. El porcentaje expresa esa misma parte por cada cien unidades: se multiplica el decimal por 100 y se añade %. Debe mantenerse el mismo total de referencia.
EJEMPLO 29
Representa 3/4 como centésimas.
3/4 = 75/100 = 0,75 = 75 %
Condición: Una sola unidad de referencia.
El cuadrado completo es una unidad dividida en cien casillas iguales. Hay 75 coloreadas: tres cuartos del total. La fracción, el decimal y el porcentaje describen exactamente la misma parte.
EJEMPLO 30
Convierte 0,999999… a fracción.
x = 0,999999…
10x = 9,999999…
9x = 9; x = 1
0,(9) = 1; en cambio, 0,9999 < 1
Condición: El 9 se repite indefinidamente.
La repetición infinita de nueves representa exactamente 1. Una lista finita de nueves, por larga que sea, es menor que 1. Los puntos suspensivos y el período no significan que falte una cifra final por escribir.
OpenStax · Fracciones y decimales: división y períodos. OpenStax · Decimales: valor posicional, conversión y redondeo. Ejercicios históricos recuperados y corregidos; explicaciones, ampliaciones y dibujos preparados para Ejemplosde.