Ejemplos de fracciones

Fracción: 2/5, dos quintos

Numerador: 2 → partes que se toman

Denominador: 5 → partes iguales de la unidad

La barra completa es 5/5 = 1

Condición: Denominador distinto de cero.

La raya horizontal o el signo / indican una división: 2/5 significa 2 ÷ 5. En este modelo, cada parte es un quinto del mismo entero. Contar trozos solo sirve si todos tienen igual tamaño.

(1/2)·100 cm = 50 cm

(1/2)·200 cm = 100 cm

1/2 = 1/2, pero 50 cm ≠ 100 cm

Condición: Cada cinta completa es su propia unidad.

La fracción es la misma proporción, pero cambia la cantidad porque cambió el entero de referencia. Las barras del dibujo usan la misma escala: la segunda cinta mide el doble que la primera.

7 ÷ 3 = 7/3 de pan por persona

7 = 3·2 + 1

7/3 = 2 + 1/3 = 2 1/3

Comprobación: 3·(7/3) = 7 panes

Condición: Panes del mismo tamaño; reparto igualitario.

Cada persona recibe dos panes y un tercio de otro. El entero de referencia es un pan, no el lote de siete. Un reparto puede dar más de una unidad por persona.

Cada salto mide 1/4 de unidad

5/4 = 4/4 + 1/4 = 1 + 1/4

1 < 5/4 < 2

Desde cero se avanza cinco veces un cuarto. El punto queda un cuarto después del 1. La unidad mantiene la misma longitud a lo largo de toda la recta.

1/2

3/4

5/6

7/8

9/10

2/3

40/100

32/40

82/120

5/16

También: 1/4, 3/8 y 5/12

Condición: Clasificación con numerador positivo y denominador positivo.

En todas, el numerador es menor que el denominador. Algunas admiten simplificación: 40/100 = 2/5, 32/40 = 4/5 y 82/120 = 41/60. La fracción no necesita estar simplificada para ser propia.

3/2

5/4

7/3

10/8

12/11

43/30

31/20

67/34

120/32

70/21

También: 7/2, 10/3 y 12/8

3/2 = 1 + 1/2; 120/32 = 3 + 3/4

Condición: Numerador y denominador positivos.

Sus numeradores superan a sus denominadores, así que todas son mayores que uno. Aquí incluimos en las impropias también las positivas con numerador igual al denominador, como 5/5 = 1; algunos materiales presentan ese caso como categoría aparte.

2 1/2 = 2 + 1/2 = 5/2

3 3/4 = 3 + 3/4 = 15/4

10 10/100 = 10 + 10/100 = 101/10

8 15/20 = 8 + 15/20 = 35/4

4 3/8 = 4 + 3/8 = 35/8

5 10/25 = 5 + 10/25 = 27/5

4 2/5 = 4 + 2/5 = 22/5

9 13/15 = 9 + 13/15 = 148/15

11 15/21 = 11 + 15/21 = 82/7

3 5/6 = 3 + 5/6 = 23/6

Otros ejemplos: 3 1/4 = 13/4; 1 3/4 = 7/4

Condición: Parte entera no negativa; 0 < a < b.

2 1/2 significa 2 + 1/2, no 2·(1/2). Para convertir n a/b se calcula (nb + a)/b; después se simplifica si es posible. Por ejemplo, 10 10/100 = 10 1/10 = 101/10.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10

1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12 = 5/15

1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15

3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20

3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = 15/25

1/10 = 2/20 = 3/30 = 4/40 = 5/50

2/10 = 4/20 = 6/30 = 8/40 = 10/50

1/8 = 2/16 = 3/24 = 4/32 = 5/40

10/100 = 20/200 = 30/300 = 40/400 = 50/500

Condición: Misma unidad si se comparan cantidades representadas.

Multiplicar numerador y denominador por el mismo número no nulo equivale a multiplicar la fracción por 1. Las tres barras ilustran 1/2 = 2/4 = 3/6: cambian las particiones, pero no el entero ni la longitud coloreada.

82/120 = (82 ÷ 2)/(120 ÷ 2) = 41/60

41 y 60 no tienen un divisor común mayor que 1

Condición: Dividir ambos términos por un divisor común no nulo.

Se dividen ambos términos por 2. No se resta la misma cantidad arriba y abajo: (82 − 2)/(120 − 2) sería 80/118 y cambiaría el valor.

5·4 = 20

3/5 = (3·4)/(5·4) = 12/20

Condición: Usar el mismo factor no nulo arriba y abajo.

Como el denominador se multiplica por 4, el numerador también. Cambiar solo 5 por 20 produciría 3/20, que es cuatro veces menor.

0/7 = 0

5/5 = 1

12/4 = 3

4/0 no está definido

0/0 tampoco está definido

Condición: Denominador siempre distinto de cero.

Un numerador cero es válido si el denominador no es cero. Numerador y denominador iguales y no nulos dan 1. Cuando el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa un entero; a menudo se llama fracción aparente.

(−3)/4 = 3/(−4) = −(3/4)

(−3)/(−4) = 3/4

−1 < −3/4 < 0

Condición: Denominador no nulo.

Un solo signo negativo da un valor negativo; dos signos negativos se cancelan. Suele dejarse positivo el denominador y poner el signo delante de la fracción. No aplicamos sin matices la comparación de numeradores de las fracciones positivas.

3/8 < 5/8

5/8 − 3/8 = 2/8 = 1/4

Condición: Denominador positivo común.

Son partes del mismo tamaño: cinco octavos contienen más octavos que tres. Para comparar cantidades de dos objetos, además deben referirse a enteros iguales.

3/4 = 6/8

6/8 > 3/8 → 3/4 > 3/8

Condición: Numerador positivo; denominadores positivos.

Si el entero se divide en más partes iguales, cada parte es menor. Con el mismo numerador positivo, el denominador mayor da la fracción menor.

5/6 = 15/18

7/9 = 14/18

15/18 > 14/18 → 5/6 > 7/9

Condición: Denominadores positivos.

Usamos dieciochavos para comparar partes del mismo tamaño. Mirar solo el numerador habría dado una conclusión incorrecta: 7 es mayor que 5, pero 7/9 es menor que 5/6.

(3/4)·20 = 3·(20/4)

20/4 = 5 estudiantes por cuarto

3·5 = 15 estudiantes

Condición: La colección permite este reparto exacto en grupos iguales.

Aquí la unidad de referencia es el grupo completo de 20 personas. Se forman cuatro grupos iguales de cinco y se cuentan tres de ellos. No se divide a ninguna persona.

3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75

0,75 = 75/100 = 75 %

Condición: 75 % se entiende respecto del entero de referencia.

Son tres escrituras del mismo valor. El decimal termina exactamente en este caso; otras fracciones, como 1/3 = 0,333…, producen decimales periódicos.

20 + 30 + 50 = 100 cm

50/100 = 1/2

El trozo de 50 cm no representa 1/3

Condición: En este dibujo los trozos tienen longitudes distintas.

Contar tres trozos no basta para hablar de tercios: deberían ser iguales. El trozo azul ocupa la mitad de la longitud total.

1/2 = 3/6; 1/3 = 2/6

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Condición: Misma unidad en una suma de cantidades.

Se suman los numeradores una vez expresadas ambas fracciones en sextos. No se suman directamente los denominadores: 2/5 no es el resultado.

1/4 = 3/12; 2/3 = 8/12

1/4 − 2/3 = 3/12 − 8/12 = −5/12

La cantidad que se resta es mayor que la inicial, por eso el resultado es negativo. El denominador común indica el tamaño de las partes y no se resta.

(2/3)·(3/4) = (2·3)/(3·4)

= 6/12 = 1/2

Tomar 2/3 de 3/4 de una unidad da la mitad de esa unidad. Aquí ambas fracciones son positivas y menores que 1, por lo que el producto es menor que cada factor.

(3/4) ÷ (1/8) = (3/4)·8

= 24/4 = 6 porciones

Comprobación: 6·(1/8) = 3/4 de litro

Condición: Divisor distinto de cero; misma unidad de medida.

Dividir entre una fracción no nula equivale a multiplicar por su recíproco. El resultado cuenta porciones y puede ser mayor que el dividendo.

√(4/9) = √4/√9 = 2/3

Comprobación: (2/3)² = 4/9

Condición: Raíz principal real; denominador positivo.

La raíz principal es no negativa. Si se pidieran las soluciones de x² = 4/9, serían 2/3 y −2/3. En los reales, la fracción bajo la raíz debe ser no negativa.