ARITMÉTICA · FRACCIONES Y UNIDADES COMPLETAS
9/6, 5/3 y 24/8 son fracciones impropias: representan una cantidad mayor que una unidad. Verás una colección de 20 fracciones, 18 ejemplos explicados y cuatro ejercicios para practicar.
Con numerador y denominador positivos, aquí llamamos impropia a una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Por eso incluimos 7/7 = 1. El numerador cuenta partes; el denominador indica cuántas partes iguales forman una unidad y nunca puede ser cero. Los casos con signos se explican más abajo.
La última columna usa el signo + para mostrar con claridad la parte entera y la fraccionaria: 1 + 1/2 se lee «uno y un medio». Si no queda resto, aparece solo el entero. Varias fracciones de la colección representan el mismo número.
| N.º | Fracción | Irreducible | Entero o mixto |
|---|---|---|---|
| 1 | 9/6 | 3/2 | 1 + 1/2 |
| 2 | 5/3 | 5/3 | 1 + 2/3 |
| 3 | 7/3 | 7/3 | 2 + 1/3 |
| 4 | 6/5 | 6/5 | 1 + 1/5 |
| 5 | 13/11 | 13/11 | 1 + 2/11 |
| 6 | 24/5 | 24/5 | 4 + 4/5 |
| 7 | 9/7 | 9/7 | 1 + 2/7 |
| 8 | 22/7 | 22/7 | 3 + 1/7 |
| 9 | 478/225 | 478/225 | 2 + 28/225 |
| 10 | 147/2 | 147/2 | 73 + 1/2 |
| 11 | 24/8 | 3/1 | 3 |
| 12 | 12/4 | 3/1 | 3 |
| 13 | 4/3 | 4/3 | 1 + 1/3 |
| 14 | 88/44 | 2/1 | 2 |
| 15 | 44/22 | 2/1 | 2 |
| 16 | 22/11 | 2/1 | 2 |
| 17 | 64/16 | 4/1 | 4 |
| 18 | 32/8 | 4/1 | 4 |
| 19 | 16/4 | 4/1 | 4 |
| 20 | 8/2 | 4/1 | 4 |
EJEMPLO 01
Tienes nueve piezas; cada pieza mide un sexto de una barra. ¿Cuántas barras representan?
9/6 = 6/6 + 3/6
9/6 = 1 + 1/2 = 3/2
Condición: Las barras tienen igual tamaño y cada una se divide en seis partes iguales.
Seis sextos completan una barra y quedan tres sextos de otra. Simplificar 3/6 a 1/2 no cambia la cantidad. Se lee «uno y un medio».
EJEMPLO 02
Divide quince entre diez y expresa el resultado como número mixto.
15 = 1 · 10 + 5
15/10 = 1 + 5/10
15/10 = 1 + 1/2 = 1,5
Condición: En la división: 0 ≤ resto < denominador.
El cociente entero es 1 y el resto es 5; ese resto todavía debe dividirse entre 10. No hay que confundir el resto con el valor de la fracción.
EJEMPLO 03
Clasifica siete séptimos.
7/7 = 1
7 ≥ 7 → impropia según la convención inclusiva
Condición: Numerador y denominador positivos.
Aquí incluimos la igualdad en las impropias. También es una fracción aparente: representa un entero. Si tu material reserva «impropia» para un numerador estrictamente mayor, la llamará aparente sin incluirla en esa clase. El valor sigue siendo 1.
EJEMPLO 04
Agrupa quince tercios en unidades completas.
15 = 5 · 3 + 0
15/3 = 5
Condición: Denominador distinto de cero.
El resto es cero: hay cinco unidades exactas. No hace falta añadir una parte fraccionaria nula ni escribir un número mixto. «Aparente» señala que la fracción representa un entero.
EJEMPLO 05
Reduce treinta quinceavos hasta obtener una fracción irreducible.
30/15 = 10/5 = 2/1 = 2
Condición: Se divide numerador y denominador por el mismo divisor no nulo.
Primero dividimos ambos términos entre 3; después, ambos entre 5. También podemos dividir 30 y 15 directamente entre su máximo común divisor, 15. Reducir solo uno de los dos términos cambiaría el valor.
EJEMPLO 06
Escribe cinco tercios como número mixto y decide si admite reducción.
5 = 1 · 3 + 2
5/3 = 1 + 2/3
m.c.d.(5, 3) = 1
Condición: Numerador y denominador positivos.
Es impropia e irreducible: 5 y 3 no tienen divisor común mayor que 1. Convertirla a mixto es cambiar su escritura, no simplificarla.
EJEMPLO 07
Convierte 478/225 a número mixto.
478 = 2 · 225 + 28
478/225 = 2 + 28/225
0 ≤ 28 < 225; m.c.d.(28, 225) = 1
Condición: Resto menor que el denominador.
Dos grupos de 225 suman 450; sobran 28. La parte fraccionaria es 28/225, ya irreducible. Para comprobar el resultado, multiplica 2 por 225 y suma 28.
EJEMPLO 08
Expresa ciento cuarenta y siete medios como número mixto.
147 = 73 · 2 + 1
147/2 = 73 + 1/2 = 73,5
Condición: Numerador y denominador positivos.
El tamaño de los números no cambia el procedimiento: 73 unidades completas y medio más. El resto 1 se conserva sobre el denominador 2.
EJEMPLO 09
Convierte el número mixto «tres y dos quintos» en una sola fracción.
3 + 2/5 = 15/5 + 2/5
3 + 2/5 = (3 · 5 + 2)/5 = 17/5
Condición: La parte fraccionaria del mixto está entre 0 y 1.
Cada unidad contiene cinco quintos. Tres unidades aportan quince quintos, a los que se añaden dos. El denominador sigue siendo 5.
EJEMPLO 10
Escribe menos siete tercios usando una parte entera y una fraccionaria.
−7/3 = −(2 + 1/3)
−7/3 = −2 − 1/3
−7/3 ≠ −2 + 1/3
−3 < −7/3 < −2
Condición: Convención por valor absoluto; denominador no nulo.
Dividimos 7 entre 3 y después aplicamos el signo menos al resultado completo. En este artículo extendemos «impropia» a los signos mediante |numerador| ≥ |denominador|. No afirmamos que una fracción negativa sea mayor que 1.
EJEMPLO 11
Lleva el signo al numerador y distingue uno o dos signos menos.
9/(−6) = −9/6 = −3/2
(−9)/(−6) = 9/6 = 3/2
Condición: El denominador no puede ser cero.
Con un solo signo menos el cociente es negativo; con dos, positivo. En ambos casos el valor absoluto es 3/2, mayor que 1. Normalizar el denominador facilita leer y comparar.
EJEMPLO 12
Decide si 0/5 y 5/0 son fracciones impropias.
0/5 = 0 → no es impropia
5/0 no está definido
Condición: Con signos usamos |numerador| ≥ |denominador|, siempre con denominador no nulo.
Cero no alcanza una unidad en valor absoluto. Dividir por cero no está permitido, por lo que 5/0 no se clasifica como propia ni impropia.
EJEMPLO 13
¿Qué fracción es mayor? Ambas superan dos unidades.
7/3 = 28/12
9/4 = 27/12
7/3 > 9/4
Condición: Denominadores positivos y misma unidad de referencia.
El numerador más grande no basta para decidir cuando los denominadores son distintos. Al pasar a doceavos, comparamos partes del mismo tamaño.
EJEMPLO 14
Suma 5/3 y 7/6.
5/3 + 7/6 = 10/6 + 7/6
5/3 + 7/6 = 17/6 = 2 + 5/6
Condición: Fracciones de la misma unidad.
Se convierte 5/3 a sextos, se suman los numeradores y se conserva el denominador común. El resultado contiene dos unidades y cinco sextos.
EJEMPLO 15
Calcula siete tercios menos cinco tercios.
7/3 − 5/3 = (7 − 5)/3 = 2/3
Condición: Fracciones de la misma unidad.
Aunque las dos fracciones de partida sean impropias, su diferencia puede ser menor que 1. No se conserva automáticamente la clasificación al operar.
EJEMPLO 16
Calcula cuántas veces 10/3 está contenido en 5/3.
(5/3) ÷ (10/3) = (5/3) · (3/10)
(5/3) ÷ (10/3) = 1/2
Condición: Divisor 10/3 distinto de cero.
La primera cantidad es la mitad de la segunda. Dividir equivale a multiplicar por el inverso del divisor; aquí el resultado también es propio.
EJEMPLO 17
Necesitas siete medidas de un cuarto de litro. ¿Cuánto líquido es?
7 · (1/4 L) = 7/4 L
7/4 L = (1 + 3/4) L = 1,75 L
Condición: Cada medida contiene exactamente 1/4 L.
Cuatro medidas llenan un litro y quedan tres cuartos de otro. Las medidas tienen el mismo volumen; la unidad completa de referencia es un litro.
EJEMPLO 18
Una cuerda mide 11/2 m. Se cortan piezas de 3/4 m sin pérdida de material. ¿Cuántas piezas completas salen?
(11/2) ÷ (3/4) = 22/3 = 7 + 1/3
7 · (3/4 m) = 21/4 m
11/2 m − 21/4 m = 1/4 m
Condición: Sin pérdida por corte; piezas de igual longitud.
Salen siete piezas completas y sobra un cuarto de metro. El 1/3 del cociente es un tercio de una pieza de 3/4 m; no es un tercio de metro.
Para a ≥ b > 0, divide a entre b y escribe a = q · b + r, con 0 ≤ r < b. Entonces a/b = q + r/b. Simplifica r/b si admite reducción. Si r = 0, el resultado es q, un entero.
Para una fracción negativa, normaliza el denominador a positivo, convierte el valor absoluto y aplica el signo menos a toda la suma. Por ejemplo, −7/3 = −(2 + 1/3).
OpenStax · Prealgebra 2e, 4.1: Visualize Fractions. Referencia para representación, clasificación positiva inclusiva y conversión. La extensión por valor absoluto a números negativos se declara como convención de este artículo.