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Ejemplos de Binomio Al Cubo

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Última modificación por: Redacción ejemplosde.com, año 2021

En álgebra, un binomio al cubo es un producto notable. Es una operación en la que un binomio se multiplica por sí mismo, una y otra vez. Dicho de otro modo: se eleva a la potencia 3. Se escribe de esta forma:

(x + a)3 = (x + a)*(x + a)*(x + a)

La fórmula que se sigue para resolver esta operación es:

Cubo del primer término

más el triple producto de: cuadrado del primero por el segundo

más el triple producto de: primero por el cuadrado del segundo

más el cubo del segundo.

Se desarrolla de la siguiente manera:

(x + a)3 = (x)3 + 3(x)2(a) + 3(x)(a)2 + (a)3

= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Quedan cuatro términos; ya están ordenados alfabéticamente, como debe ser.

Comprobación:

Para verificar que la operación de binomio al cubo está bien realizada, primero hay que resolver el binomio al cuadrado, y el resultado multiplicarlo otra vez por el binomio.

  • Binomio al cuadrado:

(x + a)2 = (x + a)*(x + a)

= (x)(x) + (x)(a) + (a)(x) + (a)(a)

= (x)(x) + 2(a)(x) + (a)(a)

= (x)2 + 2 (a)(x) + (a)2

= x2 + 2ax + a2

  • Resultado se multiplica por el binomio:

(x2 + 2ax + a2)*(x + a)

= (x2)(x) + (x2)(a) + (2ax)(x) + (2ax)(a) + (a2)(x) + (a2)(a)

= x3 + ax2 + 2ax2 + 2a2x + a2x + a3

  • Se agrupan por factor común:

= x3 + (1 + 2)ax2 + (2 + 1)a2x + a3

= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Ejemplos de binomio al cubo

  1. (x + 1)3 = (x)3 + 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 + (1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
  2. (x + a)3 = (x)3 + 3(x)2(a) + 3(x)(a)2 + a3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
  3. (x2 + y)3 = (x2)3 + 3(x2)2(y) + 3(x2)(y)2 + (y)3 = x6 + 3x4y + 3x2y2 + y3
  4. (a + b)3 = (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
  5. (y – 3)3 = y3 + 3(y)2(-3) + 3(y)(-3)2 + (-3)3 = y3 – 9y2 +27y – 27
  6. (b + 2c)3 = (b)3 + 3(b)2(2c) + 3(b)(2c)2 + (2c)3 = b3 + 6b2c + 12bc2 + 8c3
  7. (x – 7)3 = (x)3 + 3(x)2(-7) + 3(x)(-7)2 + (-7)3 = x3 – 21x2 + 147x - 343
  8. (xy + 2)3 = (xy)3 + 3(xy)2(2) + 3(xy)(2)2 + (2)3 = x3y3 + 6x2y2 + 12xy + 8
  9. (wx – yz)3 = (wx)3 + 3(wx)2(yz) + 3(wx)(yz)2 + (yz)3 = w3x3 + 3w2x2yz + 3wxy2z2 + y3z3
  10. (a – 1)3 = (a)3 + 3(a)2(-1) + 3(a)(-1)2 + (-1)3 = a3 – 3a2 + 3a – 1

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Autor: Redacción ejemplosde.com, año 2021

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