ARITMÉTICA · COCIENTES Y REPARTOS
Conserva la primera fracción, invierte la segunda y multiplica. Aprende a dividir con pasos explicados, una colección de 20 ejercicios y problemas de porciones y repartos.
La segunda fracción es el divisor y debe ser distinta de cero. Los enteros se escriben con denominador 1 y los números mixtos se convierten a fracciones antes de operar. Para comprobar el resultado, multiplica el cociente por el divisor: debes recuperar el dividendo.
EJEMPLO 01
Calcula (2/5) ÷ (3/4).
(2/5) ÷ (3/4) = (2/5)·(4/3)
= (2·4)/(5·3) = 8/15
Comprobación: (8/15)·(3/4) = 2/5
Condición: Denominadores no nulos y divisor distinto de cero.
La primera fracción es el dividendo y se mantiene. La segunda es el divisor: se sustituye por su recíproca y la división pasa a multiplicación. El cociente multiplicado por el divisor debe devolver el dividendo.
EJEMPLO 02
Calcula (7/9) ÷ (5/3).
(7/9) ÷ (5/3) = (7/9)·(3/5)
= 21/45 = 7/15
Comprobación: (7/15)·(5/3) = 7/9
Condición: Dividendo positivo y divisor mayor que 1.
El divisor es 5/3 y su recíproca es 3/5. Al dividir una cantidad positiva por un número mayor que uno, el cociente es menor que el dividendo. Aquí 7/15 es menor que 7/9.
EJEMPLO 03
Calcula (3/8) ÷ (6/9).
(3/8) ÷ (6/9) = (3/8)·(9/6)
= 27/48 = 9/16
Condición: Divisor no nulo.
Ambos números son positivos y el cociente también lo es. Después de invertir el divisor, se multiplican los numeradores y denominadores y se simplifica por 3.
EJEMPLO 04
Calcula (-4/6) ÷ (-8/10).
(−4/6) ÷ (−8/10) = (4/6) ÷ (8/10)
= (4/6)·(10/8) = 40/48 = 5/6
Condición: Dividendo y divisor negativos.
La división de dos números negativos da un cociente positivo. Tras resolver el signo, se conservan las magnitudes, se invierte solo el divisor y se simplifica.
EJEMPLO 05
Resuelve las dos divisiones.
(−3/2) ÷ (4/5) = −(3/2)·(5/4)
= −15/8 = −1 7/8
(7/9) ÷ (−5/6) = −(7/9)·(6/5)
= −42/45 = −14/15
Condición: Dividendo y divisor no nulos de distinto signo.
En cada división hay exactamente un número negativo y el cociente es negativo. En el resultado mixto, -1 7/8 significa -(1 + 7/8); el signo afecta a toda la cantidad.
EJEMPLO 06
Divide y simplifica cada cociente.
(1/2) ÷ (3/4) = (1/2)·(4/3) = 4/6 = 2/3
(5/7) ÷ (9/8) = (5/7)·(8/9) = 40/63
(10/4) ÷ (5/2) = (10/4)·(2/5) = 20/20 = 1
(3/4) ÷ (5/7) = (3/4)·(7/5) = 21/20 = 1 1/20
(6/10) ÷ (2/8) = (6/10)·(8/2) = 48/20 = 12/5 = 2 2/5
Condición: Denominadores y divisores distintos de cero.
Los resultados incluyen fracciones menores que uno, la unidad y fracciones mayores que uno. En la tercera fila, 10/4 y 5/2 representan el mismo número: su cociente es 1.
EJEMPLO 07
Divide y simplifica cada cociente.
(−11/3) ÷ (−5/9) = (−11/3)·(9/−5) = 99/15 = 33/5 = 6 3/5
(−12/5) ÷ (−2/7) = (−12/5)·(7/−2) = 84/10 = 42/5 = 8 2/5
(−8/6) ÷ (−11/12) = (−8/6)·(12/−11) = 96/66 = 16/11 = 1 5/11
(−2/4) ÷ (−7/13) = (−2/4)·(13/−7) = 26/28 = 13/14
(−8/5) ÷ (−10/21) = (−8/5)·(21/−10) = 168/50 = 84/25 = 3 9/25
Condición: Denominadores y divisores distintos de cero.
Todos los cocientes son positivos. Se mantienen las magnitudes del dividendo y se invierten las del divisor; después se simplifica. Por ejemplo, 99/15 = 33/5 = 6 3/5.
EJEMPLO 08
Divide y simplifica cada cociente.
(−4/9) ÷ (2/6) = (−4/9)·(6/2) = −24/18 = −4/3 = −1 1/3
(−3/7) ÷ (3/9) = (−3/7)·(9/3) = −27/21 = −9/7 = −1 2/7
(−14/3) ÷ (10/5) = (−14/3)·(5/10) = −70/30 = −7/3 = −2 1/3
(−20/12) ÷ (6/15) = (−20/12)·(15/6) = −300/72 = −25/6 = −4 1/6
(−3/20) ÷ (4/15) = (−3/20)·(15/4) = −45/80 = −9/16
Condición: Denominadores y divisores distintos de cero.
El signo menos debe permanecer en todos los pasos. En la segunda fila, -27/21 se reduce a -9/7; en la tercera, -70/30 se reduce a -7/3. Un mixto negativo representa el opuesto de toda la suma.
EJEMPLO 09
Divide y simplifica cada cociente.
(10/30) ÷ (−2/3) = (10/30)·(3/−2) = −30/60 = −1/2
(1/5) ÷ (−6/4) = (1/5)·(4/−6) = −4/30 = −2/15
(1/6) ÷ (−5/3) = (1/6)·(3/−5) = −3/30 = −1/10
(9/3) ÷ (−1/5) = (9/3)·(5/−1) = −45/3 = −15
(2/4) ÷ (−1/6) = (2/4)·(6/−1) = −12/4 = −3
Condición: Denominadores y divisores distintos de cero.
El cociente también es negativo cuando el signo menos está en el divisor. En la primera fila, -30/60 = -3/6 se simplifica completamente a -1/2. Las dos últimas divisiones dan números enteros.
EJEMPLO 10
Calcula (5/8) ÷ (3/8).
(5/8) ÷ (3/8) = (5/8)·(8/3)
= 5/3 = 1 2/3
Condición: Una misma unidad de referencia.
Los dos números están medidos en octavos: se comparan 5 partes con grupos de 3 partes. Cabe un grupo entero y sobran 2 octavos, que son 2/3 de otro grupo de 3 octavos. El cociente cuenta grupos, no octavos.
EJEMPLO 11
Calcula (14/15) ÷ (7/10).
(14/15) ÷ (7/10) = (14/15)·(10/7)
14 ÷ 7 = 2; 7 ÷ 7 = 1
10 ÷ 5 = 2; 15 ÷ 5 = 3
(2·2)/(3·1) = 4/3
Condición: Cancelar factores, no sumandos.
Primero convierte la división en multiplicación. Entonces puedes cancelar factores comunes del numerador y denominador del producto completo. Dividir ambos por un mismo factor no nulo conserva el valor.
EJEMPLO 12
Reparte 3/4 de litro en 3 vasos iguales.
(3/4) ÷ 3 = (3/4) ÷ (3/1)
= (3/4)·(1/3) = 3/12 = 1/4
Cada vaso recibe 1/4 L
Condición: Tres vasos iguales; sin pérdidas de líquido.
El entero 3 se escribe como 3/1; su recíproca es 1/3. Dividir una cantidad en tres partes iguales equivale a tomar un tercio de ella. Los tres cuartos dibujados se reparten a razón de un cuarto por vaso.
EJEMPLO 13
¿Cuántas porciones de 3/4 L se obtienen de 3 L?
3 ÷ (3/4) = (3/1)·(4/3) = 4
Comprobación: 4·(3/4 L) = 3 L
Condición: Porciones iguales y líquido suficiente para llenarlas.
El entero es ahora el dividendo. Se conserva 3/1 y se invierte 3/4. El resultado es una cantidad de porciones; no significa que cada porción tenga cuatro litros.
EJEMPLO 14
Calcula 2 1/2 ÷ 1 1/4.
2 1/2 = 5/2; 1 1/4 = 5/4
(5/2) ÷ (5/4) = (5/2)·(4/5)
= 20/10 = 2
Condición: Mixtos positivos: entero más fracción.
Convierte primero cada mixto a una sola fracción. Luego invierte la fracción del divisor. No se dividen por separado las partes enteras y las partes fraccionarias.
EJEMPLO 15
Calcula (-1 1/2) ÷ (2 1/4).
−1 1/2 = −(1 + 1/2) = −3/2
2 1/4 = 9/4
(−3/2) ÷ (9/4) = (−3/2)·(4/9)
= −12/18 = −2/3
Condición: -1 1/2 significa -(1 + 1/2).
El menos afecta a todo el mixto negativo. Después de convertir los dos números, el cociente es negativo porque los signos son diferentes.
EJEMPLO 16
Calcula 0 ÷ (5/7).
0 ÷ (5/7) = (0/1)·(7/5) = 0
Comprobación: 0·(5/7) = 0
Condición: Divisor 5/7 distinto de cero.
El cociente es cero. El dividendo puede ser cero; lo que no puede ser cero es el divisor. El resultado cero no se clasifica como positivo ni negativo.
EJEMPLO 17
Examina (3/4) ÷ 0 y 0 ÷ 0.
(3/4) ÷ 0: no definido
No existe q tal que q·0 = 3/4
0 ÷ 0: tampoco está definido
Todo q cumple q·0 = 0; no hay un cociente único
Condición: Nunca dividir entre cero.
En el primer caso ningún número sirve como cociente. En el segundo, la operación inversa no determina uno solo. No escribas cero ni infinito como resultado de estas divisiones.
EJEMPLO 18
Calcula (4/9) ÷ 1 y (4/9) ÷ (4/9).
(4/9) ÷ 1 = 4/9
(4/9) ÷ (4/9) = (4/9)·(9/4) = 1
Condición: La regla a ÷ a = 1 exige a distinto de cero.
Dividir entre 1 conserva el dividendo. Dividir un número no nulo entre sí mismo da 1, porque ese divisor cabe exactamente una vez en el dividendo.
EJEMPLO 19
¿Cuántas porciones de 1/4 L hay en 3/4 L?
(3/4) ÷ (1/4) = (3/4)·4 = 3
3 porciones de 1/4 L suman 3/4 L
Condición: Las cantidades de líquido se expresan en la misma unidad.
Caben tres porciones. El número 3 es mayor que 3/4: dividir no siempre da un número menor. Para un dividendo positivo, un divisor entre 0 y 1 hace mayor el valor numérico del cociente.
EJEMPLO 20
Tienes 5/8 L y cada vaso lleno contiene 1/4 L. ¿Qué puedes servir?
(5/8) ÷ (1/4) = (5/8)·4 = 5/2
= 2 1/2 capacidades de vaso
Dos vasos llenos: 2·(1/4 L) = 1/2 L
Sobra 5/8 L − 1/2 L = 1/8 L
Condición: Capacidad uniforme y sin pérdidas.
Puedes llenar dos vasos y medio llenar un tercero. Si solo se cuentan vasos completamente llenos, la respuesta es 2 y sobran 1/8 L. El cociente 2 1/2 mide capacidades de vaso; no obliga a redondear hacia arriba.
EJEMPLO 21
Se recorren 3/4 km en 1/2 h. Calcula la velocidad media.
(3/4 km) ÷ (1/2 h) = (3/4)·2 km/h
= 3/2 km/h = 1,5 km/h
Condición: Tiempo distinto de cero; se calcula velocidad media.
Aquí las unidades no se cancelan: kilómetros entre horas da kilómetros por hora. El cociente expresa la distancia media recorrida por hora.
EJEMPLO 22
Calcula (3/4) ÷ (1/2) ÷ (3/2), sin otros paréntesis.
[(3/4) ÷ (1/2)] ÷ (3/2)
= (3/2) ÷ (3/2) = 1
Si cambias la agrupación:
(3/4) ÷ [(1/2) ÷ (3/2)]
= (3/4) ÷ (1/3) = 9/4
Condición: Todos los divisores de cada paso deben ser no nulos.
Las divisiones consecutivas se resuelven de izquierda a derecha cuando no hay paréntesis que cambien la agrupación. La división no es asociativa: las dos expresiones anteriores dan resultados diferentes.
EJEMPLO 23
Compara (2/3) ÷ (4/5) con (4/5) ÷ (2/3).
(2/3) ÷ (4/5) = (2/3)·(5/4) = 5/6
(4/5) ÷ (2/3) = (4/5)·(3/2) = 6/5
Condición: Ambos números distintos de cero.
La división no es conmutativa. Al intercambiar los dos números cambia el cociente; en este caso, los resultados son recíprocos. Esa relación exige que los dos números sean no nulos.
EJEMPLO 24
Simplifica la fracción cuyo numerador es 2/3 y cuyo denominador es 5/6.
(2/3)/(5/6) = (2/3) ÷ (5/6)
= (2/3)·(6/5) = 12/15 = 4/5
Condición: El denominador completo 5/6 no es cero.
La barra principal de una fracción también indica división. Los paréntesis de la escritura lineal dejan claro qué fracción completa ocupa cada posición. Mantén esos paréntesis al copiar.
EJEMPLO 25
Calcula (3/4) ÷ (1/2 + 1/4).
1/2 + 1/4 = 3/4
(3/4) ÷ (3/4) = 1
No es (3/4) ÷ (1/2) + (3/4) ÷ (1/4)
= 3/2 + 3 = 9/2
Condición: La suma del divisor debe ser distinta de cero.
El divisor es toda la suma. Resuélvela y comprueba que no sea cero antes de tomar su recíproco. Repartir el dividendo entre los sumandos del divisor cambia la expresión.
EJEMPLO 26
Calcula (2/(-3)) ÷ (4/5).
2/(−3) = −2/3
(−2/3) ÷ (4/5) = (−2/3)·(5/4)
= −10/12 = −5/6
Condición: Denominadores y divisor no nulos.
Un único signo menos en una fracción hace negativo su valor, esté en el numerador o en el denominador. Colocarlo delante permite seguir la regla de los signos con claridad.
EJEMPLO 27
Calcula (3/4) ÷ (2/3) expresando ambos números en doceavos.
3/4 = 9/12; 2/3 = 8/12
(9/12) ÷ (8/12) = 9/8
Por recíproco: (3/4)·(3/2) = 9/8
Condición: Las partes comparadas tienen el mismo tamaño.
Se comparan 9 partes de tamaño 1/12 con grupos de 8 partes del mismo tamaño: hay 9/8 de grupo. Igualar denominadores es una comprobación alternativa; no es un requisito para dividir fracciones.
EJEMPLO 28
Encuentra q si q*(3/5) = 7/10.
q = (7/10) ÷ (3/5)
= (7/10)·(5/3) = 7/6
Comprobación: (7/6)·(3/5) = 7/10
Condición: El factor conocido 3/5 es no nulo.
Dividir permite encontrar el factor desconocido cuando el otro factor no es cero. Esta relación explica por qué el cociente se comprueba multiplicándolo por el divisor.
OpenStax · Multiplicar y dividir fracciones: recíprocos, división y restricciones. Ejercicios históricos recuperados en texto; explicaciones, ampliaciones y dibujos preparados para Ejemplosde.