Ejemplos de números racionales

1/2 = 1 ÷ 2 = 0,5

Numerador: 1; denominador: 2

El número representado es 0,5, no 5

Condición: El denominador es distinto de cero.

La fracción 1/2 y el decimal 0,5 representan el mismo número racional. No son dos tipos de valor distintos: son dos maneras de escribir una mitad.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10

1/2 = 0,5

2/4 = 0,5

3/6 = 0,5

4/8 = 0,5

5/10 = 0,5

Multiplicar numerador y denominador por el mismo entero no nulo conserva el cociente. En todas estas fracciones, el denominador es el doble del numerador. La representación cambia, el número no.

6/12 = 7/14 = 8/16 = 9/18 = 10/20

6/12 = 0,5

7/14 = 0,5

8/16 = 0,5

9/18 = 0,5

10/20 = 0,5

Multiplicar numerador y denominador por el mismo entero no nulo conserva el cociente. En todas estas fracciones, el denominador es el doble del numerador. La representación cambia, el número no.

7 = 7/1

−4 = (−4)/1

0 = 0/1 = 0/9

Condición: a y b enteros; b ≠ 0.

Un racional puede escribirse como a/b con a y b enteros y b distinto de cero. Por eso todos los enteros, y todos los naturales, pertenecen a Q, el conjunto de los racionales. No es obligatorio que su valor tenga una parte decimal no nula.

0,125 = 125/1000 = 1/8

−2,75 = −275/100 = −11/4

Usa una potencia de diez con tantos ceros como cifras decimales y simplifica. Un decimal finito es exacto por sí mismo; no hace falta que represente un entero.

x = 0,(27)

100x = 27,(27)

100x − x = 27; 99x = 27

x = 27/99 = 3/11

Condición: (27) indica repetición de 27.

Al desplazar dos cifras y restar, la parte que se repite se cancela. Las cifras entre paréntesis forman el período y se repiten sin fin; esta notación también se conserva al copiar.

x = 0,1(6)

10x = 1,(6); 100x = 16,(6)

100x − 10x = 15; 90x = 15

x = 15/90 = 1/6

Condición: Solo la cifra entre paréntesis se repite.

El 1 aparece una vez antes del período; el 6 se repite. Multiplicamos por 10 y por 100 para alinear las partes periódicas antes de restar.

0,333 = 333/1000

0,(3) = 1/3

1/3 − 333/1000 = 1/3000

0,667 = 667/1000 ≠ 2/3

Ambos tipos de decimal son racionales, pero no representan el mismo valor. En las operaciones siguientes, 0,333 y 0,667 son los decimales finitos escritos, no abreviaturas de 1/3 y 2/3.

0,5 + 0,667 = 1,167

0,2 + 0,333 = 0,533

0,1 + 0,75 = 0,85

0,25 + 0,333 = 0,583

0,75 + 0,9 = 1,65

Condición: Decimales finitos exactos.

Los resultados son racionales. Puedes alinear las comas decimales o expresar los sumandos con un denominador común.

−0,5 − 0,667 = −1,167

0,2 − 0,333 = −0,133

0,1 − 0,75 = −0,65

0,25 − 0,333 = −0,083

0,75 − 0,9 = −0,15

Condición: Decimales finitos exactos.

Todos los resultados siguen siendo racionales, incluidos los negativos. La resta no saca dos racionales del conjunto Q.

0,5 · 0,667 = 0,3335

0,2 · 0,333 = 0,0666

0,1 · 0,75 = 0,075

0,25 · 0,333 = 0,08325

0,75 · 0,9 = 0,675

Condición: Decimales finitos exactos.

Multiplica los números sin coma y coloca tantas cifras decimales como suman los dos factores. Los productos son racionales exactos.

0,5 / 0,667 = 500/667 ≈ 0,7496

0,2 / 0,333 = 200/333 ≈ 0,6006

0,1 / 0,75 = 2/15 ≈ 0,1333

0,25 / 0,333 = 250/333 ≈ 0,7508

0,75 / 0,9 = 5/6 ≈ 0,8333

Condición: Decimales finitos exactos; divisor no nulo.

Los cocientes exactos son las fracciones indicadas. Los decimales finales son aproximaciones a cuatro cifras decimales. En particular, 250/333 se redondea a 0,7508; 0,7507 sería un truncamiento.

1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6

3/4 − 5/4 = −2/4 = −1/2

(−2/3)·(9/4) = −18/12 = −3/2

En suma y resta iguala denominadores. En el producto multiplica numeradores y denominadores y simplifica. No sumes denominadores: 1/2 + 2/3 no es 3/5.

(3/5) ÷ (−2/7) = (3/5)·(−7/2) = −21/10

0/(3/5) = 0

(3/5)/0 no está definido

Condición: Divisor distinto de cero.

Dividir por un racional no nulo equivale a multiplicar por su inverso. Cero puede ser el dividendo, pero no el divisor; 0/0 tampoco está definido.

6/(−8) = −6/8 = −3/4

(−6)/(−8) = 3/4

0/(−8) = 0

Se puede trasladar el signo negativo del denominador al numerador. Si ambos términos son negativos, el cociente es positivo. Simplificar no cambia el valor.

−2/3 = −8/12

−3/4 = −9/12

−9/12 < −8/12; por tanto, −3/4 < −2/3

Con denominadores positivos e iguales, compara los numeradores. −8 es mayor que −9. El racional negativo más cercano a cero es el mayor.

(1/3 + 1/2)/2 = (5/6)/2 = 5/12

1/3 = 4/12 < 5/12 < 6/12 = 1/2

La media de dos racionales distintos es racional y queda estrictamente entre ambos. Puedes repetir el procedimiento, por lo que no hay racionales consecutivos como sí hay enteros consecutivos.

40 = 2³·5; 3/40 = 0,075

12 = 2²·3; 7/12 = 0,58(3)

Condición: Denominador positivo y fracción irreducible.

Una fracción irreducible tiene decimal finito si su denominador solo contiene factores primos 2 y 5. Si contiene otros primos, su decimal es periódico. La prueba se aplica después de simplificar: 3/6 = 1/2 sí termina.

3,14 = 157/50: racional

1,414 = 707/500: racional

π y √2 son irracionales

Una aproximación finita no cambia la naturaleza del número original. Escribe π ≈ 3,14, no π = 3,14. Ver unas pocas cifras en una pantalla no permite decidir si el decimal completo termina o es periódico.

Razón entre los dos primeros lados: 3/4 = 0,75

Condición: Longitudes expresadas en la misma unidad.

Dividimos la longitud de 3 cm por la de 4 cm. Al usar la misma unidad, la razón no tiene unidad. Este ejemplo tiene razón racional; no todas las relaciones entre longitudes tienen por qué ser racionales.

Fracción de la masa: 20/200 = 1/10

Valor porcentual: (1/10)·100 = 10; porcentaje en masa: 10 %

Condición: Masas en gramos; total distinto de cero.

El denominador es la masa total de la mezcla, no la masa de los demás componentes. Tanto 1/10 como 10 % expresan la misma proporción.

Rapidez media = (3/4)/(1/2) = 3/2 km/h

= 1,5 km/h

Condición: Distancia en km y tiempo en horas.

Dividimos la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Aquí las unidades no se cancelan: queda km/h. El tiempo del denominador es positivo.

−2 1/4 = −(2 + 1/4) = −9/4

= −2,25

Condición: La escritura mixta significa el opuesto de 2 + 1/4.

El signo negativo afecta al número mixto completo. No es −2 + 1/4, que sería −7/4. Los paréntesis aclaran el alcance del signo al operar.

Opuesto: 3/5; (−3/5) + 3/5 = 0

Inverso: −5/3; (−3/5)·(−5/3) = 1

Condición: Para el inverso, el racional debe ser distinto de cero.

El opuesto cambia el signo y se usa para sumar hasta cero. El inverso intercambia numerador y denominador y se usa para multiplicar hasta uno. Cero tiene opuesto, pero no tiene inverso multiplicativo.

0,01 = 1/100 = 2/200 = 3/300 = 4/400 = 5/500

0,02 = 2/100 = 4/200 = 6/300 = 8/400 = 10/500

0,03 = 3/100 = 6/200 = 9/300 = 12/400 = 15/500

0,04 = 4/100 = 8/200 = 12/300 = 16/400 = 20/500

0,05 = 5/100 = 10/200 = 15/300 = 20/400 = 25/500

Todas las fracciones de una fila representan el decimal que la encabeza. Multiplicar ambos términos por el mismo número conserva el valor.

0,06 = 6/100 = 12/200 = 18/300 = 24/400 = 30/500

0,07 = 7/100 = 14/200 = 21/300 = 28/400 = 35/500

0,08 = 8/100 = 16/200 = 24/300 = 32/400 = 40/500

0,09 = 9/100 = 18/200 = 27/300 = 36/400 = 45/500

0,01 = 1/100 = 2/200 = 3/300 = 4/400 = 5/500

Todas las fracciones de una fila representan el decimal que la encabeza. Multiplicar ambos términos por el mismo número conserva el valor. La última fila repite 0,01, como en la colección de partida; sirve de repaso y no añade un valor nuevo.

0,1 = 1/10 = 2/20 = 3/30 = 4/40 = 5/50

0,2 = 1/5 = 2/10 = 3/15 = 4/20 = 5/25

0,25 = 1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20

0,3 = 3/10 = 6/20 = 9/30 = 12/40 = 15/50

0,4 = 4/10 = 8/20 = 12/30 = 16/40 = 20/50

Todas las fracciones de una fila representan el decimal que la encabeza. Multiplicar ambos términos por el mismo número conserva el valor.

0,5 = 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10

0,6 = 6/10 = 12/20 = 18/30 = 24/40 = 30/50

0,7 = 7/10 = 14/20 = 21/30 = 28/40 = 35/50

0,8 = 8/10 = 16/20 = 24/30 = 32/40 = 40/50

0,9 = 9/10 = 18/20 = 27/30 = 36/40 = 45/50

Todas las fracciones de una fila representan el decimal que la encabeza. Multiplicar ambos términos por el mismo número conserva el valor. En la fila de 0,8 se mantiene la misma proporción en los cinco cocientes.

Total: 3 + 5 = 8 fichas

Probabilidad de azul: 3/8 = 0,375

Condición: Una extracción; ocho fichas equiprobables.

Hay tres resultados favorables entre ocho fichas igualmente posibles. Esta probabilidad es racional y está entre 0 y 1. La cuenta requiere que todas las fichas tengan la misma posibilidad de ser elegidas.

a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)

a/b − c/d = (ad − bc)/(bd)

(a/b)·(c/d) = ac/(bd)

(a/b) ÷ (c/d) = ad/(bc), si c ≠ 0

Condición: a, b, c y d enteros; b ≠ 0 y d ≠ 0.

Los numeradores y denominadores resultantes son enteros. Los denominadores siguen siendo no nulos bajo las condiciones indicadas. Así, suma, resta y producto conservan Q; la división también, siempre que no se divida por cero.

(−2/3)² = 4/9

(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4

Condición: La base debe ser no nula si el exponente es negativo.

La potencia positiva repite el producto. Un exponente negativo pide invertir la base y usar el exponente positivo. Las dos respuestas son racionales.

5/1 = 5: racional

0/7 = 0: racional

5/0: no definido

√2/1: no es cociente de dos enteros

Condición: Definición: cociente de enteros con denominador no nulo.

No basta con que una expresión tenga una barra de división. Para justificar que es racional mediante a/b, ambos términos deben ser enteros y el denominador no puede ser cero. √2/1 conserva el valor irracional √2.